19.02 Задачи №19 из сборника И.В. Ященко

а) Пусть первое число равняется 2009. Тогда второе число равняется 11, а третье равняется 2. В сумме получим

б) По признаку равноостаточности на 3 мы знаем, что сумма цифр числа имеет такой же остаток при делении на 3, что и само число. Значит, второе число имеет такой же остаток при делении на 3, что и первое. Аналогично третье число имеет такой же остаток при делении на 3, что и второе. Таким образом, все три числа имеют один и тот же остаток при делении на 3.

Сумма трех чисел с одинаковыми остатками при делении на 3 кратна 3. Но 2021 на 3 не делится, то есть такое невозможно.

в) По признаку равноостаточности на 9 мы знаем, что сумма цифр числа имеет такой же остаток при делении на 9, что и само число. Заметим, что второе число не больше 27, так как сумма цифр трехзначного числа не превышает

Но тогда для того, чтобы третье число равнялось 2, достаточно лишь того, что второе число дает остаток 2 при делении на 9, поскольку сумма цифр любого числа от 1 до 27 строго меньше 11. Таким образом, если второе число, а значит и первое число, дают остаток 2 при делении на 9, то третье число однозначно равняется 2. Причем если первое число не дает остаток 2 при делении на 9, третье число не может равняться двум.

Значит, ответом на поставленный вопрос будет количество трехзначных чисел, дающих остаток 2 при делении на 9, но сумма цифр которых не равна двум, так как все три числа должны быть различными. Среди 900 подряд идущих чисел, дающих остаток 2 при делении на 9, всего

Но так же необходимо учесть числа с суммой цифр 2 - их всего 3: 101, 110, 200.

Итого 97 чисел.