19.02 Задачи №19 из сборника И.В. Ященко

а) Пусть

Тогда

б) Так как дробь несократимая, то делится на 336.

Пусть среди чисел нет 16. Тогда, чтобы получить число, делящееся на 16, нужно перемножить 2, 4 и 6. Но не делится на 7. Значит, один из знаменателей равен 16.

Так как делится на 7, то одно из чисел — это 7.

делится на 3, поэтому оставшееся число — это либо 3, либо 6. Значит, знаменатели дробей — это либо 3, 7, 16, либо 6, 7, 16.

Оценим сумму дробей в первом случае. Среди оставшихся чисел самое большое равно 6. Значит, числитель каждой дроби не больше 6. Тогда

Значит, этот случай не возможен.

Рассмотрим второй случай. Среди оставшихся чисел самое большое число равно 4. Значит, числитель каждой дроби не больше 4. Тогда

Значит, сумма дробей не может быть равна

в) Пусть среди числителей дробей, которые дают максимальную сумму, нет числа 16. Тогда 16 — знаменатель какой-то дроби. Пусть это дробь Так как то Значит,

Тогда предположение, что среди числителей дробей, дающих максимальную сумму, нет числа 16, неверно.

Аналогично если среди оставшихся числителей нет 7, то 7 — знаменатель какой-то дроби. Пусть это дробь Если то Тогда замена дроби на сумму увеличит.

Также возможен случай наличия дроби в котором данная логика не работает. Но тогда у двух других дробей числители меньше 7. Но тогда можно поменять местами 7 и числитель одной из дробей — эта дробь увеличится, так как у нее увеличится числитель, а вместо дроби будет написана дробь с меньшим значением знаменателя. То есть обе дроби увеличатся, что увеличит значение всей суммы.

Самое большое из оставшихся чисел — это 6. Аналогично замена на увеличит сумму. Либо же в случае, когда число 6 находится в знаметеле дроби с числителем 16 или 7, можно поменять знаменатель этой дроби с числителем той дроби, у которой он меньше 6. Такая дробь обязательно найдется, так как чисел, больших 6, только два.

Значит, числа — это числа 2, 3, 4 в каком-то порядке. Всего 6 различных перестановок. Посчитаем сумму в каждом случае и найдём максимальную сумму.

Также докажем, что для дробей со знаменателями и числителями , где наибольшая сумма равна Давайте докажем это, посчитав разность:

Так как то разность Причем Для положительных дробей с одинаковыми ненулевыми числителями верно, что большее значение имеет дробь с меньшим значением знаменателя. Так как то можно утверждать, что То есть Тогда действительно

Тогда наибольшее значение будет установлено, если наименьшим знаменателям сопоставить наибольшие числители. То есть максимальная сумма равняется