19.02 Задачи №19 из сборника И.В. Ященко
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Отношение трехзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 11?
б) Может ли это отношение быть равным 5?
в) Какое наибольшее значение может принимать это отношение, если число не делится на 100 и его первая цифра равна 7?
Источники:
а) Цифры 
и 
исходного числа должны удовлетворять следующему условию:
Осталось подобрать какие-нибудь цифры 
и 
которые удовлетворяют равенству. Для простоты возьмем 
тогда
подойдут 
что даст нам исходное число 198. И действительно,
б) Используем подход, аналогичный пункту а). Цифры 
и 
должны удовлетворять следующему условию:
Посмотрим на полученное равенство. Число 
трехзначное, значит, 
следовательно, слагаемое 
Слагаемое
неотрицательно, то есть 
Оценим 
Значит,
Значит, равенство 
не может быть верно ни при каких цифрах 
и 
в) Нам нужно максимизировать отношение
при условии, что 
и 
не могут быть одновременно равны нулю, иначе число делится на 100.
Заметим, что при 
и 
мы можем получить отношение, равное 80:
Докажем, что целое отношение, больше 80, мы получить не сможем. Сравним 
и 80:
Заметим, что если 
то
Таким образом, если 
то искомое отношение всегда меньше 80.
Если 
то есть три варианта, при этом вариант, когда 
и 
является нашим примером. Разберем вариант
и 
Разберем вариант 
и 
Если 
то есть два варианта. Разберем вариант 
и 
Разберем вариант 
и 
При этом 
так как иначе 700 делится на 100.
Значит, наибольшее целое отношение равно 80 и достигается при 
для числа 720.
а) Да
б) Нет
в) 80
| Содержание критерия | Балл |
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: – обоснованное решение в пункте а); – обоснованное решение в пункте б); – искомая оценка в пункте в); – пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
