19.02 Задачи №19 из сборника И.В. Ященко

Пусть дано трёхзначное число Сумма цифр такого трёхзначного числа равна По условию

а)

Пусть Тогда

б)

Так как — чётное число, — чётное число, то — тоже чётное. Значит, делится на 2. Если то Значит,

Но — число от 0 до 9. Значит, Тогда делится на 19, значит тоже делится на 19. Числа 14 и 19 взаимно просты, поэтому делится на 19. Но так как то Противоречие.

в) Оценим сверху.

Так как то Тогда

Так как то Тогда

Так как то Тогда

— натуральное, поэтому

1.

Если то

Так как — чётные числа, то — тоже чётное число. Значит, делится на 2. По условию все цифры ненулевые, поэтому Так как то Тогда Противоречие.

2.

Если то

Если то так как то Тогда Противоречие. Значит, При этом если то Тогда Противоречие. Тогда Найдём

Но должно быть целым числом. Противоречие.

3.

Если то

Так как и делятся на 10, то делится на 10. Тогда делится 10. Все цифры ненулевые, поэтому Противоречие.

4.

Если то

Пусть Тогда