19.02 Задачи №19 из сборника И.В. Ященко

а) Число 1285 подойдет:

б) Разберем несколько случаев:

• Если в числе есть цифра 0, то неравенство очевидно неверно.

• Если в числе есть цифра 1, то есть два варианта:

  1)

  В числе нет цифры 2. Тогда произведение цифр равно хотя бы что больше наибольшей суммы цифр, равной

  2)

  В числе есть цифры 1 и 2. Тогда произведение не меньше чем а сумма цифр не больше чем И в этом случае произведение больше суммы.

• Если наименьшая цифра равна хотя бы 2, то, так как все цифры различны, их произведение равно хотя бы а сумма не больше Значит, неравенство выполнено.

Значит, нам нужно найти количество четырехзначных чисел, в которых все цифры различны и нет цифры 0. Их так как первую цифру можно выбрать 9 способами; вторая цифра должна не совпадать с первой — значит, выбрать ее есть 8 способов, и так далее.

в) Очевидно, что если при каких-то и число — наибольшее, то ни одна из цифр не равна 0.

Будем перебирать значения Так как — двузначное число, то Начнем перебор.

• Если то делится на 11. Такое невозможно, так как — цифры.

• Если то делится на 49, то есть две цифры из четырех равны 7. Тогда третья должна быть четной. Пусть не умаляя общности где Тогда имеем:

  

  Значит, и должны быть степенями двойки. Но следовательно, поэтому равняется 1 или 2. Также, следовательно, поэтому равняется 1, 2 или 4. Таким образом,

  

  Противоречие.

• Если то делится на 97, которое является простым числом. Такое невозможно, так как — цифры.

На 96 есть пример — число из цифр 5, 8, 8 и 9. Произведение его цифр равно а сумма цифр равна

Тогда

Значит, число 9885 подходит.

Докажем, что числа большие 9885 не подходят.

Пусть тогда так как иначе

Пусть По условию делится на 96. делится на 3, значит делится на 32, то есть либо либо

Если

Если

Следовательно

Пусть По условию делится на 96. делится на 24, значит делится на 4, то есть либо либо

Если

Если

Следовательно

Таким образом, получаем:

Значит, наибольшее число при котором равно 9885.