Планиметрия на БИБНе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан прямоугольный треугольник, у которого численные значения периметра и площади — числа рациональные. Обязательно ли а) длина гипотенузы — рациональное число? б) длина биссектрисы прямого угла — иррациональное число?
Источники:
Пункт а, подсказка 1
Обозначим за а и b катеты нашего треугольника, за с – его гипотенузу. Чему равны площади и периметр? Можно ли как-то через них выразить с?
Пункт а, подсказка 2
Давайте вспомним, что стороны прямоугольного треугольника связаны с радиусом вписанной окружности, которую легко можно записать через периметр и площадь. Является ли радиус вписанной окружности рациональным числом? А что в этом случае можно сказать про гипотенузу?
Пункт b, подсказка 1
Нужно как-то связать площадь с биссектрисой, для этого разумно представить площадь как сумму площадей треугольников, на которые биссектриса делит △АВС, каждую из этих площадей легко можно записать через длину биссектрисы (обозначим ее за l) и катета! Что у нас получится?
Пункт b, подсказка 2
S = √2l(a + b)/4! Если мы поймём, к какому множеству чисел принадлежит сумма а + b, то сможем сделать вывод и о биссектрисе)
Пункт b, подсказка 3
a + b = P - c, помним, что Р и с – рациональные числа, а значит, сумма катетов тоже рациональна! Остается понять, какой должна быть длина биссектрисы, чтобы площадь была рациональной)
a) Пусть дан треугольник 
с 
— его периметр, 
— его площадь, 
Тогда
Пусть 
— радиус вписанной окружности, тогда
С другой стороны, в прямоугольном треугольнике
Получаем, что 
— рациональное число.
б) Пусть 
— биссектриса прямого угла. Из предыдущего пункта 
— рациональное число. Так как
Если предположить, что 
— рациональное, то 
будет иррациональным, что противоречит условию. Значит, длина биссектрисы
прямого угла — иррациональное число.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
