Планиметрия на БИБНе

Первое решение.

Введём длины сторон, как — площадь, — полупериметр. Далее воспользуемся формулами откуда

Для углов известно зная это, распишем произведение

Осталось воспользоваться теоремой косинусов. Например, для угла имеем

То есть косинусы также рациональны, откуда следует рациональность произведения.

Второе решение.

а)

Мы знаем, что где — площадь треугольника, а — его полупериметр. С другой стороны, где — стороны треугольника. Тогда

Следовательно,

По формуле Герона

Тогда

Заметим, что здесь каждый из множителей рационален, а следовательно и отношение рационально.

б) Запишем теорему синусов:

Отсюда получаем

Пусть — точка пересечения биссектрис треугольника Рассмотрим треугольник и запишем для него теорему синусов:

Подставим распишем синус двойного угла и синус суммы, получим

Отсюда получаем

Аналогично

Заметим, что

Таким образом,

Тогда

По предыдущему пункту рационально, значит и рационально.