Многочлены и квадратные трёхчлены на БИБНе

Рассмотрим многочлен

Во-первых, его старший коэффициент равен Это меньше Покажем теперь, что во всех целых точках он принимает целые значения. В числителе находится произведение десяти подряд идущих целых чисел. Докажем, что оно делится на каждый множитель знаменателя.

Делимость на Среди десяти подряд идущих целых чисел есть пять чётных. Из этих пяти хотя бы одно делится на хотя бы одно — на То есть числитель всегда делится на

Делимость на следует из того, что среди десяти подряд идущих целых чисел есть хотя бы два, кратных Аналогично получаем делимость на

Делимость на Среди десяти подряд идущих чисел есть хотя бы три, делящихся на притом одно из них делится на отсюда получаем делимость.