1.12 Трапеция и ее свойства

Пусть \\(MN\\) — средняя линия трапеции \\(ABCD\\) с большим основанием \\(AD.\\) Точки \\(M\\) и \\(N\\) — середины боковых сторон \\(AB\\) и \\(CD\\) соответственно. Пусть диагональ \\(AC\\) пересекает \\(MN\\) в точке \\(K.\\) Тогда \\(MK\\) и \\(NK\\) — средние линии треугольников \\(ABC\\) и \\(ACD\\) соответственно. Значит, получаем \\[\begin{gathered} MK = \dfrac{1}{2}BC, \\\[1ex] NK = \dfrac{1}{2}AD \end{gathered}\\] Следовательно, \\(NK > MK,\\) так как \\(AD > BC.\\)

Тогда имеем: \\[\begin{gathered} NK : MK = 4 : 1 \quad\Rightarrow\quad NK : MN = 4 : 5 \\ NK = \dfrac{4}{5}MN = 16 \quad\Rightarrow\quad AD = 2NK = 32 \end{gathered}\\] Значит, большее основание трапеции равно 32.
Замечание.
Для диагонали \\(BD\\) расчеты аналогичны, то есть выбор диагонали не имеет значения.