Многочлены и квадратные трёхчлены на Росатоме
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Доказать, что для любого многочлена 
с целыми коэффициентами выражение 
делится на (
) при любых целых
.
Известно, что уравнение 
имеет целый корень на полуоси 
и 
Найти этот корень.
Источники:
Подсказка 1
Сначала докажем требуемое. Представим P(x) в виде суммы c_i * x^i, где c_i - соответствующий степени коэффициент. Теперь посмотрим, какой вид имеет P(b) - P(a). Какой вывод можно сделать из того, что при одинаковых степенях коэффициенты одинаковые?
Подсказка 2
Получаем, что P(b) - P(a) можно представить в виде суммы c_i * (b^i - a^i). Как из этого можно в каждом слагаемом получить множитель (b - a)?
Подсказка 3
Используем формулу для b^i - a^i, где всегда будет множитель (b - a). Тогда каждое слагаемое делится на (b - a), а значит и вся сумма делится.
Подсказка 4
Теперь решим саму задачу. Хотим воспользоваться доказанным. Что нам это дает?
Подсказка 5
Правильно, P(x) - P(4) = 8 - 17 делится на x - 4. При этом не забываем, что x ≥ 8, и находим нужное значение :)
Для доказательства утверждения запишем общий вид многочлена 
степени 
Рассмотрим
Используя известную формулу
получим
где 
— многочлен степени 
с целыми коэффициентами от переменных 
. Следовательно, выражение 
делится на 
при любых целых 
.
Рассмотрим вторую часть задачи. Если 
решение уравнения 
, а 
, то 
. По доказанному выше,
делится на 
, следовательно, выражение 
является делителем числа т.е.
Отсюда
Ограничению 
удовлетворяет только 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
