Нетабличные углы

Первое решение.

Пусть — центр описанной окружности треугольника . Так как , то . Следовательно, треугольник  — равносторонний. в этом треугольнике является биссектрисой, поэтому треугольники и равны. Далее, , откуда ; следовательно, треугольники и равны по трем сторонам. Заметим, что из следует, что . Наконец, и

Второе решение.

Обозначим точку пересечения и за Из условия сразу же находим внешний угол треугольника : . Нас просят доказать, что тогда угол тоже должен быть равен Давайте не будем думать и попробуем доказать счётом в синусах:

В итоге

Третье решение.

Обозначим Из условия находим Замечаем, что - равнобедренный, так как его углы при основании равны по поэтому Выразим и из теоремы синусов:

Перемножая каждую пропорцию крест-накрест, а затем равенства между собой, получаем:

Применим формулу синуса суммы:

Умножим на обе части, применим формулу приведения и перенесём второе слагаемое из правой части в левую часть:

Применим формулы синуса и косинуса двойного угла:

В итоге что и требовалось.