Нетабличные углы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В равнобедренном треугольнике 
(
) угол при вершине 
равен 
. На сторонах 
и 
отмечены точки 
и 
соответственно так, что 
, 
. Докажите, что 
Подсказка 1
Мы знаем, чему равен угол AEB, значит, чтобы доказать, что угол BED = 40, достаточно найти угол AED. Из всех углов на картинке мы больше всего привыкли работать с углом в 30 градусов. Попробуем сделать доп построение, которое поможет нам использовать угол ABE и хоть как-то приблизиться к углу AED.
Подсказка 2
Отметим центр описанной окружности ABE. Что можно сказать об угле AOE? Заметим, что мы еще не использовали углы, на которые делит AD угол BAC.
Подсказка 3
AD является биссектрисой угла OAE (почему?). Теперь мы можем найти на картинке угол, равный AED. Посчитаем углы!
Первое решение.
Пусть 
— центр описанной окружности треугольника 
. Так как 
, то 
. Следовательно,
треугольник 
— равносторонний. 
в этом треугольнике является биссектрисой, поэтому треугольники 
и 
равны. Далее, 
, откуда 
; следовательно, треугольники 
и 
равны по трем
сторонам. Заметим, что из 
следует, что 
. Наконец, 
и
Второе решение.
Обозначим точку пересечения 
и 
за 
Из условия сразу же находим внешний угол треугольника 
:
. Нас просят доказать, что 
тогда угол 
тоже должен быть равен 
Давайте не
будем думать и попробуем доказать 
счётом в синусах:
В итоге
Третье решение.
Обозначим 
Из условия находим 
Замечаем, что 
- равнобедренный, так как его углы
при основании 
равны по 
поэтому 
Выразим 
и 
из теоремы синусов:
Перемножая каждую пропорцию крест-накрест, а затем равенства между собой, получаем:
Применим формулу синуса суммы:
Умножим на 
обе части, применим формулу приведения и перенесём второе слагаемое из правой части в левую часть:
Применим формулы синуса и косинуса двойного угла:
В итоге 
что и требовалось.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
