Угадай точку
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— точка описанной окружности треугольника 
противоположная точке 
Точка 
симметрична точке 
относительно прямой 
Аналогично определяются точки 
и 
Докажите, что описанная окружность треугольника 
проходит через точку 
Подсказка 1
Давайте вспомним факт про 5 точек на окружности. Пусть есть три прямые, пересекающиеся в точке X. Если взять некоторую точку P и провести из неë перпендикуляры к прямым, то основания перпендикуляров, P, X, лежат на одной окружности.
Подсказка 2
Если вы не знаете, как связаны точки H и A₁, вам стоит изучить свойства ортоцентра. Пока не изучите и не попробуете порешать, следующую подсказку не смотрите.
Подсказка 3
Итак, у нас есть прямые A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂, а также точка H, из которой к ним проведены перпендикуляры в точки A₂, B₂, C₂. Но вот непонятно, пересекаются ли прямые A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ в одной точке. Если это доказать, то мы сможем применить факт из подсказки 1.
Подсказка 4
У нас есть высоты в треугольнике, они пересекаются в одной точке и похожи на A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂. Попробуйте придумать гомотетию, переходящую высоты в A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂.
Пусть 
— центр описанной около 
окружности. При симметрии относительно 
треугольник 
перейдет в треугольнике
Пусть 
перейдет в точку 
— ортоцентр треугольника 
Докажем, что каждая из точек 
лежит на окружности с диаметром 
Действительно, отрезок 
проходит через
середину 
и делится ею пополам, откуда 
и прямая 
проходит через 
поскольку является высотой в
треугольнике 
следовательно, 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
