Планиметрия на Турломе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— центр описанной окружности остроугольного треугольника 
На сторонах 
и 
отмечены точки 
и 
соответственно. Оказалось, что описанная окружность треугольника 
касается прямой 
описанная окружность 
касается
прямой 
а периметр треугольника 
равен 
Найдите величину угла 
Источники:
Подсказка 1
Нужно воспользоваться тем, что BO и СO - касательные. Для этого можно посчитать уголки за счёт теоремы об угле между касательной и хордой. Также за счёт того, что O — центр описанной окружности, мы можем наложить условие на отрезки AO, BO и CO.
Подсказка 2
Отлично! Мы получили, что PB = PO и QO = QC. Пора воспользоваться последним условием на периметр треугольника APQ. Попробуйте записать его и использовать полученные равенства.
Подсказка 3
Сделав это, мы получили, что PQ = PO + OQ. А значит, P, O и Q лежат на одной прямой. Раз так, то мы можем записать условие на то, что ∠POQ развёрнутый. Попробуйте выразить этот угол через ∠BAC.
Подсказка 4
Раз O — центр описанной окружности, то ∠BOC = 2∠BAC. Теперь взглянем на сумму ∠QOC + ∠POB. Выразите её через ∠BAC, используя полученные ранее равенства.
Поскольку описанная окружность треугольника 
касается прямой 
Кроме того, поскольку 
— центр
описанной окружности треугольника 
откуда 
Значит, 
откуда 
Аналогично,
По условию, 
то есть 
Из предыдущего абзаца мы знаем, что тогда 
т.е.
точки 
и 
лежат на одной прямой.
Осталось посчитать уголки. Например, это можно сделать так:
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
