Теория чисел на Турломе

Приведём явный пример.

Рассмотрим числа вида

где

Тогда, очевидно, суммы вида

равны , то есть образуют подряд идущих чисел. Осталось доказать, что среди попарных сумм пирведённых чисел нет совпадающих.

Разделим все суммы на три вида: первый вид второй вид третий вид

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Для начала докажем, что суммы из двух разных видов не равны между собой.

Предположим, что число второго вида и третьего вида равны между собой. Тогда для некоторых будет выполнено

Перенося в этом равенстве все слагаемые без влево и оставляя справа только заметим, что больше, чем сумма модулей всех остальных слагаемых, а значит, равенства быть не может. Аналогично доказывается, что числа первого вида не могут быть равны числам второго и третьего видов.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теперь докажем, что суммы из одного вида тоже отличаются друг от друга.

Приведём доказательство для сумм третьего вида, для двух других видов доказательства будут аналогичны.

Пусть есть и такие, что пара чисел не совпадает с парой . Докажем, что не может быть равенства

Действительно, если так, то после подстановки получаем равенство

Если , то без ограничения общности можно считать, что , но тогда по модулю больше, чем все суммма модулей остальных слагаемых в равенстве, а значит, равенства быть не может. Если , то после сокращения равных слагаемых остаётся равенство

причём в этом равенстве так как изначальные пары были различны. Но тогда опять же не умаляя общности будет выполнено, что и по модулю будет больше, чем сумма модулей всех остальных членов в уравнении, что невозможно. Следовательно, все суммы третьего вида различны между собой.

Заметим, что при доказательстве того, что попарные суммы различны внутри второго типа нужно отдельно рассмотреть случаи, когда и они будут образовывать наши подряд идущие числа, а следовательно, все различны. Во всех остальных случаях соображение о том, что какое-то слагаемое по модулю будет больше, чем сумма модулей остальных, по-прежнему работает.