Тема ТурЛом (турнир Ломоносова)

Квадратные трёхчлены и многочлены на Турломе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела турлом (турнир ломоносова)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#103182

У Коли есть квадратный трёхчлен $x2 +ax+ b.$ На одной стороне бумажки он написал его корни, а с другой стороны этой же бумажки — его коэффиценты $a$ и $b.$ Оказалось, что все написанные числа являются целыми и отличными от нуля. Затем он отдал эту бумажку Оле, которая, посмотрев на бумажку, сказала, что Коля скорее всего ошибся, так как на обеих сторонах бумажки написаны одни и те же числа, чего явно не может быть. Определите, действительно ли ошибся Коля или, если он всё-таки всё сделал правильно, то какие числа написаны на бумажке?

Источники: Турнир Ломоносова - 2020, 11.1 (см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим написанные на одной из сторон числа за a и b. Как тогда выглядит наш трёхчлен и какие равенства можно записать?

Подсказка 2

Попробуйте подставить в трёхчлен число b, равное свободному коэффициенту, и воспользоваться условием.

Подсказка 3

Нам нужно связать коэффициенты и корни, какая теорема может в этом помочь?

Подсказка 4

Воспользуйтесь теоремой Виета ;)

Показать ответ и решение

Действительно, несложно проверить, что у уравнения $x2+ x− 2$ корни это чилса $1$ и $− 2.$ Тогда решая такое уравненеие Коля с обеих сторон бумажки бы написал одну и ту же пару чисел.

Покажем, что ничего другого на бумажке написано быть не могло. Чтобы Коля всё сделал правильно с обеих сторон бумажки должны быть написаны числа $a$ и $b.$ Значит, $a$ и $b$ — суть корни уравнения $2 x + ax +b= 0.$ Подставляя $b$ в это уравнение получаем равенство $2 b + ab+b= 0,$ которое можно сократить на $b,$ так как все числа на бумажке ненулевые. Получаем $a+ b= −1.$ Но $a+ b$ по теореме Виета равно $− a,$ следовательно $a= 1.$ Откуда, подставляя его в полученное ранее равенство, находим $b= −2.$

Ответ:

Коля не ошибся. На бумажке были написаны числа $1$ и $− 2$ с обеих сторон.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#49149

Все коэффициенты многочлена $P(x)$ — целые числа. Известно, что $P(1)= 1$ и что $P(n)= 0$ при некотором натуральном $n$ . Найдите $n.$

Источники: Турнир Ломоносова-2001, 10-11.5 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда в задании фигурирует многочлен с целыми коэф-ами, а тем более два его значения, то Вам должна вспоминаться теорема Безу, которую и следует тут применить.

Подсказка 2

Р(n)-Р(1) делится на n-1, в то же время оно равно -1. Теперь остается вспомнить, что n - это натуральное число :)

Показать ответ и решение

Воспользуемся теоремой Безу