Свойства коэффициентов многочленов, раскрытие скобок и бином Ньютона

Вспомним простой факт про сумму коэффициентов многочлена после раскрытия скобок.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть дан многочлен степени :

Сумма коэффициентов многочлена определяется как сумма всех .

Теперь заметим, что если мы подставим в многочлен , то каждый член многочлена преобразуется следующим образом:

То есть, когда мы подставляем , все степени превращаются в единицу, и остается только коэффициент перед каждой степенью. Таким образом, подставляя в многочлен, мы получаем сумму всех его коэффициентов:

Именно поэтому сумма коэффициентов многочлена равна значению этого многочлена при .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теперь вернёмся к нашей задаче. Нам нужно найти сумму коэффициентов многочлена . Как мы уже выяснили, эта сумма равна значению многочлена при :

Таким образом, сумма всех коэффициентов многочлена равна 1.