Свойства коэффициентов многочленов, раскрытие скобок и бином Ньютона

Пусть

Тогда

Заметим, что если некоторый коэффициент многочлена равен , то это возможно только в случае, когда соответствующая степень является суммой ровно четырьмя различными способами и плюс один раз как . В противном случае коэффициент будет чётным числом.

Если коэффициентов равны , то хотя бы один из них соответствует некоторому с или , иначе будет не больше 12 девяток. В каждой из четырёх оставшихся пар , в сумме дающих , в силу упорядоченности, одна из или обязательно будет меньше или больше . Но тогда сумма коэффициентов при соответствующей степени будет не больше — противоречие.