Свойства коэффициентов многочленов, раскрытие скобок и бином Ньютона

Попробуем найти сумму всех коэффициентов многочлена, чтобы получше понять, что от нас требуют. Пусть мы раскрыли скобки и получили многочлен вида: Тогда сумма коэффициентов равна значению этого многочлена в точке 1. Отсюда она равна: Теперь нам надо доказать, что сумма коэффициентов при одночленах вида равна

Заметим теперь, что эта сумма коэффициентов равна числу способов получить одночлен вида путем выбора степени из каждой скобки. Тогда из первых девяти скобок можно выбрать по правилу произведения. А из последней скобки мы можем выбрать лишь тремя способами (каждый остаток показателя степени встречается ровно 3 раза, для делимости мы выбираем только один остаток). Тогда искомая величина равна