Свойства коэффициентов многочленов, раскрытие скобок и бином Ньютона

Первое решение.

Из следует, что одного или трёх неположительных числа среди быть не может, не может быть среди них и нулей.

Остаётся разобрать, почему не может быть случая, когда нашлось два отрицательных числа и одно положительное.

Предположим, что такое всё-таки случилось. Не умаляя общности, считаем Тогда пусть Из условия получаем

Теперь из этого

Из получаем

Мы пришли к противоречию значит, рассматриваемый случай не может быть, так что все три числа положительные.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Не умаляя общности, считаем

По теореме, обратной теореме Виета для кубического уравнения, числа являются корнями уравнения

Если хотя бы одно из чисел неположительно, то , а тогда при подстановке получаем

Но тогда

приходим к противоречию.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Можно сформулировать и более общий факт для чисел. Если все элементарные симметрические многочлены от переменных (их сумма, сумма попарных произведений, сумма произведений по три и так далее до одной суммы из произведения всех чисел) имеют для заданных чисел один и тот же знак (все положительные или все отрицательные), то каждое из этих чисел имеет тот же знак (все положительны или все отрицательны). Доказательство проводится аналогично с использованием теоремы Виета для многочлена степени .