Свойства коэффициентов многочленов, раскрытие скобок и бином Ньютона
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Существует ли такой многочлен десятой степени, принимающий целые значения при всех целых аргументах, у которого старший
коэффициент не превосходит по абсолютной величине 
Источники:
Подсказка 1
Давайте подумаем, как мы можем сильно уменьшить главный коэффициент(или все коэффициенты), но чтобы при этом значение выражения было целым. Вспомним, где у нас были целые значения на любом аргументе, но при этом коэффициенты были не целые. А если сказать слово «комбинаторика»?
Подсказка 2
Все верно, это было в биномиальном коэффициенте. То есть, у нас выражение вида x(x - 1)*…*(x - k + 1) / k! - всегда целое. Значит, если так повезло, что 10! > 10^6, то мы победили. К счастью, это так.
Рассмотрим многочлен
Во-первых, его старший коэффициент равен 
Это меньше 
Покажем теперь, что во всех целых точках он принимает
целые значения. В числителе находится произведение десяти подряд идущих целых чисел. Докажем, что оно делится на каждый множитель
знаменателя.
Делимость на 
Среди десяти подряд идущих целых чисел есть пять чётных. Из этих пяти хотя бы одно делится на 
хотя бы одно
— на 
То есть числитель всегда делится на 
Делимость на 
следует из того, что среди десяти подряд идущих целых чисел есть хотя бы два, кратных 
Аналогично получаем
делимость на 
Делимость на 
Среди десяти подряд идущих чисел есть хотя бы три, делящихся на 
притом одно из них делится на 
отсюда
получаем делимость.
Да
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
