Свойства коэффициентов многочленов, раскрытие скобок и бином Ньютона

Подсказка 1

Так как у нас в задаче упоминается только слово многочлен, то нам для начала надо определить его степень. Заметим, что степень не больше трех, так как 49^4 >= 122455, но при этом третья степень еще меньше. Значит, многочлен имеет вид a_3 * x^3 + a_2 * x^2 + a_1 * x + a_0 = 0. К тому же, так как у нас конкретные значения многочлена в точках, то скорее всего, в какой-то момент нам надо будет рассматривать наше выражение по какому-то модулю. Удобно будет, если мы сможем оценить наши коэффициенты чем-то небольшим, что влезало бы в рассматриваемый модуль. Как можно оценить наши коэффициенты?

Подсказка 2

Во-первых, можно точно сказать, что 49 >= a_i(так как f(3) = 49). При этом, f(49) = 4 = x_0 (mod 49). А значит, a_0 = 4, так как a_0 <= 49. Подставьте a_0 в наши равенства и попробуйте также посмотреть на коэффициенты, которые получаются. При этом, так как a_0 != 0, то a_1, a_2, a_3 < 49. При этом, есть уравнение 49^2 * a_3 + 49 * a_2 + a_1 = 2499.

Подсказка 3

Но тогда выходит, что a_1 = 0, а тогда система линейных уравнений на a_2, a_3 решается единственным образом.