Уравнения на НОД и НОК
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все такие натуральные числа 
, для которых выполнено условие:
Введите все возможные варианты в порядке возрастания через пробел.
Подсказка 1
Вспомним равенство НОД(a,b) * НОК(a,b) = ab, которое верно для любых целых чисел. Какие решения может иметь система НОД(a,b) + НОК(a,b) = a + b, НОД(a,b) * НОК(a,b) = ab?
Подсказка 2
Верно! НОД(a,b) = a и НОК(a,b) = b или НОД(a,b) = b и НОК(a,b) = a. Каким эквивалентным условием можно заменить эти условия?
Подсказка 3
НОД(a,b) = a, НОК(a,b) = b <=> b делится на a. Ясно, что может быть реализован только вариант b = n^3 + 2, a = n - 2. При каком условии b делится нацело на a?
Подсказка 4
Верно! Тогда и только тогда, когда неполное частное (n^3+2)/(n-2) является целым числом. Найдите все такие n!
Обозначим 
Тогда уравнение запишется в виде НОД 
НОК 
Напишем еще одно соотношение,
верное для любых целых 
и 
Получим систему
Очевидно, что решением этой системы может быть только
Поскольку НОК всегда не меньше НОДа, второй случай невозможен. Остается 
, что равносильно тому, что 
делится на 
Из этого равенства видно, что 
будет делиться на 
тогда и только тогда, когда 
является делителем
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
