Уравнения на НОД и НОК
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти все натуральные числа 
, которые можно представить в виде суммы
![n = x+ y+(x,y)+ [x,y]](/api/latex-service/v1/GetSession/152269/index-a66a9ea741b27ecd8027d1027cd4e7b7.svg)
для некоторых натуральных чисел 
и 
Здесь 
и ![[x,y]](/api/latex-service/v1/GetSession/152269/index-82f12867464d402d921b513ff6501462.svg)
обозначают наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 
и 
соответственно.
Подсказка 1
Нам хочется что-то понять про число n, поэтому разумно будет попытаться разложить правую часть на множители. С изначальным условием не очень удобно совершать тождественные преобразования. Давайте обозначим НОД(x, y)=d, тогда x=ad, y=bd и как раскладывается правая часть?
Подсказка 2
Верно, n=d(a+1)(b+1)! Как мы понимаем, нам подходят любые d, a и b, удовлетворяющие условию НОД(a, b)=1. При каком b это условие всегда выполнено?
Подсказка 3
Верно, при b=1! Это означает, что любое n вида 2d(a+1) нам подходит. Поэтому появляется предположение о том, что любое четное число, большое 2, нам подойдет. Осталось доказать, что если n раскладывается, то оно обязательно должно быть четным...
Подсказка 4
Так как НОД(a, b)=1, то одновременно a и b делится на 2 не могут. Используйте это и завершите решение!
Первое решение.
Если оба числа 
и 
одной четности, то все четыре слагаемых 
и ![[x, y]](/api/latex-service/v1/GetSession/152662/index-6cc100e839840379bc2fa0dd55de18cb.svg)
имеют ту же четность и их сумма четна. Если
они имеют разную четность, то 
нечетно, а ![[x, y]](/api/latex-service/v1/GetSession/152662/index-e46e5fda785f9a04bd77874a46b8d70f.svg)
четно, потому в сумме будет два четных и два нечетных числа и она снова будет
четна. Каждое ее слагаемое не меньше одного, поэтому вся сумма не меньше 
Следовательно, ответом задачи может быть только четное
число больше двух.
С другой стороны, для произвольного четного 
положив 
получим 
и ![n
[x, y]= y = 2 − 1,](/api/latex-service/v1/GetSession/152662/index-b239786f962b05ed6d4ddefb830c1495.svg)
откуда
![x +y+ (x, y)+[x, y]=n](/api/latex-service/v1/GetSession/152662/index-9b9839c9327c426eddaf0c82057a2d38.svg)
— представляется в требуемом в условии виде.
Второе решение.
Если обозначить 
то
![x =x1d, y =y1d, [x, y]= x1y1d,](/api/latex-service/v1/GetSession/152662/index-52a7b5e517e762ff5226aa4182544863.svg)
где 
взаимно просты, значит, одно из них обязательно нечетно. Тогда
![n= x+ y+(x, y)+ [x, y]= d(1+ x1)(1+ y1),](/api/latex-service/v1/GetSession/152662/index-a06a93ee3185c5fed5013de62b02fe40.svg)
где обе скобки не меньше 
и одна из них обязательно четна. Следовательно, ответом задачи может быть только четное число, большее
двух. Далее все как в первом решении.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
