Уравнения на НОД и НОК

Заметим, что делится на НОК , который равен НОК и в свою очередь делится на . Также делится на НОК , а последнее выражение делится на , поэтому делится на . Значит, либо , либо . В первом случае получаем

следовательно, делится на . Таким образом, есть делитель 6 , откуда — увы, эта пара чисел не удовлетворяет уравнению. Во втором случае, получаем

Если кратно 3 , то левая часть делится на большую степень тройки, чем правая. Если кратно 3, то правая часть делится на большую степень тройки, чем левая. Если же дает при делении на 3 остаток 1 , то обе части равны . Итак, требуется найти количество натуральных чисел , таких что . Их ровно 111111.