Оценка + пример в задачах по теории чисел

При получаем точных квадрата: и Теперь рассмотрим Покажем, что при чётных степенях точно не будет точных квадратов. Пусть Получаем, что поскольку и Но тогда Противоречие.

Значит, квадраты надо искать только среди нечётных степеней. Предположим, что Тогда все выражения содержат в чётной степени и аналогичными рассуждениями приходим к противоречию. Значит, не является точным квадратом.

Тогда предположим, что при каком-то точных квадратов хотя бы Тогда найдутся две степени отличающиеся на такие, что оба числа, им соответствующие, — это точные квадраты, причём (по принципу Дирихле). Пусть и точные квадраты. Тогда умножим первое число на тоже получим точный квадрат То есть мы получили два достаточно “близких” точных квадрата. Покажем, что так не бывает. Снова Значит,

Сделаем огрубление: При и так быть не может. Осталось разобраться с Тогда при нечётных делится на но не делится на а значит, не является точным квадратом и всего их не более четырёх. Пример на при