Оценка + пример в задачах по теории чисел

Обозначим числа, стоящие рядом с точками на окружности, как:

Оценка. Рассмотрим произвольную хорду Пусть на большей дуге, которую она стягивает, лежит точек. Тогда на меньшей дуге лежит точек. Очевидно, что числа и одной чётности, поэтому мы можем определять чётность хорды по любой из дуг, которую она стягивает. Между точками и лежит точка, откуда мы можно сделать вывод о том, что хорда чётная, если числа и разной чётности, и нечётная в противном случае.

Теперь рассмотрим следующее выражение:

Раскроем скобки: в сумме будут квадраты и попарные произведения всех слагаемых, при этом, перед слагаемым будет стоять минус, если числа и разной чётности, и плюс в противном случае. Сумма квадратов всех слагаемых равна 36, сумма всех чисел где и разной чётности, это сумма чисел на чётных хордах (посчитанная дважды!), которая равна Аналогично, сумма всех чисел где и одной четности, равна удвоенной сумме чисел на нечётных хордах, то есть равна Таким образом, данное выражение равно:

Тогда

Итак, максимальное значение равно 18.

Пример. для всех