Оценка + пример в задачах по теории чисел

Пусть год на Кибертроне составляет суток. Приказ Императора может быть выполнен тогда и только тогда, когда для некоторых целых неотрицательных и выполняется

Назовём натуральные представимые в указанном виде, приемлемыми, а выражение — представлением Найдем все приемлемые числа

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма.Пусть число — приемлемо. Тогда можно считать, что в его представлении где и такое (следовательно, и — единственно.

Доказательство. Пусть но Тогда

При этом

Следовательно, пара тоже подходит для представления Осуществляя данную операцию несколько раз, найдём требуемое представление. Чтобы показать его единственность, предположим противное, то есть, что для некоторых различных и не превосходящих 30

Тогда

Заметим, что левая часть не может быть кратна 31 — противоречие.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Вернемся к задаче. Все числа вида приемлемы Число вида приемлемо, только если

Другими словами, Наибольшее неприемлемое число такого вида — Аналогично, (здесь приемлемо, если

Наибольшее неприемлемое число такого вида — В остальных случаях имеем где Тогда приемлемо тогда и только тогда, когда

Поскольку — целое, получаем, что наибольшее неприемлемое число указанного вида достигается при в случае нечетного и при в случае нечетного Значения будут соответственно равны

Теперь ясно, что наибольшее неприемлемое число возникает при наибольшем значении то есть при В этом случае