Оценка + пример в задачах по теории чисел

Первое решение. Поскольку число больше единицы, оно имеет хотя бы два различных делителя. Докажем, что их не может быть ровно два, т. е. что число не может быть простым. Домножив равенство из условия на знаменатель, получим

или, что то же самое,

Разложив обе части на множители, придем к соотношению

Поскольку и обе скобки в левой части положительны и, значит, Тогда существуют такие натуральные числа и что

Например, можно положить

и Тогда первые два равенства будут выполнены по определению; с другой стороны, делит делит поэтому из равенства произведений вытекают написанные равенства.

Следовательно,

Таким образом, число представляется в виде произведения двух натуральных чисел, больших 1, и, значит, не является простым.

Наконец, несложно увидеть, что может иметь ровно три различных делителя. Например, если то

имеет три делителя.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Приведём другое доказательство того, что число не может быть простым. Предположим противное.

Будем считать, что Тогда число

делится на и меньше, чем Следовательно, число

положительно и кратно Тогда первая скобка положительна и

поэтому она не делится на Вторая скобка также положительна и

поэтому она также не делится на Мы пришли к противоречию, поэтому предположение неверно. Таким образом, — составное число и, значит, оно имеет хотя бы три делителя.