Оценка + пример в задачах по теории чисел

Чтобы произведение было минимальным, числа не должны иметь простых делителей, отличных от и

Пусть (показатели всех степеней — целые неотрицательные числа). Тогда

Рассмотрим отдельно делимость на и

Из того, что делится на делится на делится на следует, что

Складываем полученные неравенства и получаем:

Покажем, что значение достигается. Для этого возьмём

Из того, что делится на делится на делится на следует, что

Складываем полученные неравенства и получаем:

Покажем, что значение достигается. Для этого возьмём

Из того, что делится на следует, что Заметим, что

может равнятся если, например,

Так как минимум каждой из трёх сумм не зависит от оставшихся, то и минимальное значение равно