Оценка + пример в задачах по теории чисел

Пример. Условию задачи, очевидно, удовлетворяют числа так как при любом натуральном число делится как на так и на

Оценка. Пусть — три подряд идущих числа в строке, но не первые три числа. Докажем, что По условию, где и натуральные. Тогда причём делится на Получаем, что делится на откуда делится на и так как и взаимно просты, делится на то есть что и требовалось.

Заметим, что первые два числа не меньше каждое. Третье число больше второго (так как делится на сумму второго и первого), а значит, хотя бы в два раза больше второго (так как делится на него и не равно ему). По доказанному выше, четвёртое число тогда хотя бы в раза больше третьего, пятое — хотя бы в раза больше четвёртого, и так далее, откуда по индукции получаем, что -е число не меньше, чем ()! при всех натуральных