Оценка + пример в задачах по теории чисел
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Кузнечик прыгает по числовой прямой. Каждый свой прыжок он может совершить в любом направлении. Он начинает в точке 0 прыжком единичной длины. Каждый следующий прыжок должен быть на три больше предыдущего (т.е. первый прыжок длины 1, второй длины 4, третий длины 7 и т.д.). За какое наименьшее число прыжков кузнечик сможет оказаться в точке 2024?
Источники:
Подсказка 1
Попробуем как-то оценить n…а как вообще посчитать, насколько далеко мы ушли от начала координат?
Подсказка 2
Заметим, что наши прыжки - это члены арифметической прогрессии a ₙ = 3n-2. Тогда на какое наибольшее расстояние мы можем уйти от нуля? Каким тогда должно быть n?
Подсказка 3
Максимальное расстояние, на которое мы можем уйти - это (3n-1)n/2. И мы знаем, что это число должно быть не менее 2024. Теперь у нас есть какая-то оценка на n. А как (в зависимости от прыжков влево) посчитать местоположение кузнечика?
Подсказка 4
Обозначим общую длину прыжков влево как х. На какой клетке тогда находится кузнечик? Каким тогда должно быть n?
Подсказка 5
Кузнечик будет стоять на точке (3n-1)n/2 - 2х. Осталось лишь понять, каким должен быть n ;)
Процесс прыжков можно описать следующим образом: 
прыжков кузнечика — это сумма 
первых членов арифметической прогрессии
, в которой перед каждым членом стоит 
или 
. Ясно, что за 
прыжков кузнечик сможет оказаться не более, чем в
— сумма 
первых членов, в которой все члены взяты с 
. Значит, необходимо, чтобы 
было не меньше 
. То есть
.
Пусть кузнечик прыгал влево некоторое количество прыжков, и суммарно он прыгнул влево на 
единиц, тогда после 
прыжков он
окажется в точке 
. Значит, чтобы попасть в 
, необходимо, чтобы 
было чётным. Значит, 
и
прыжков не хватит. В качестве примера на 
можно прыгнуть влево на 
и на 
прыжках, а на остальных —
вправо.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
