Оценка + пример в задачах по теории чисел

Оценка.

Будем считать, что первое число в тройках минимальное из трёх, последнее — максимальное. Рассмотрим произвольную тройку где . Ясно, что , откуда , откуда . Таким образом, первыми числами в тройке могут быть лишь числа от до . Значит, всего можно взять не больше троек, так как числа не повторяются.

Предположим, что можно взять ровно тройку. Тогда каждое из чисел от до будет первым числом в своей тройке. Но при умножении любого числа на себя даёт то же самое число, то есть в тройке оно быть не может. Стало быть, можно выбрать не более троек.

Пример.

Рассмотрим тройки вида , где пробегает значения от до . Во-первых, ясно, что среди первых и вторых чисел этих троек нет одинаковых, так как Во-вторых, , то есть третьи числа в тройках не уходят за пределы . В-третьих, минимум равен , а значит никакое третье число не совпадает с первыми и вторыми числами. Наконец, в-четвёртых, если и , то либо , что невозможно, либо , что также невозможно, потому что Значит, пример удовлетворяет условию.