Параметры на ДВИ

Требуется найти такие значения параметра при каждом из которых система имеет решения.

Заметим, что в первом уравнении системы фигурируют только переменные а во втором – только

То есть пары натуральных чисел и друг от друга не зависят, а значит, достаточно найти такие значения при каждом из которых имеют натуральные решения уравнение и уравнение

Рассмотрим первое уравнение:

Поскольку натуральные, то левая часть очевидно положительна, откуда положительной должна быть и правая:

Это не единственное ограничение на наличие натуральных корней у данного уравнения, но даже оно одно в дальнейшем приведет нас к ответу.

Рассмотрим второе уравнение и сделаем замены

Обратная замена:

Поскольку являются натуральным числами, то числа и являются целыми.

В таком случае числа и являются либо нулем, либо квадратами натуральных чисел. Значит, и параметр тоже должно быть либо нулем, либо квадратом натурального числа.

На интервале мы имеем три таких квадрата

1) Рассмотрим

59 – простое число, среди его делителей есть только 1 и 59.

То есть возможны лишь два варианта:

Или:

Обе эти системы несовместны.

2) Рассмотрим

При система верна. Следовательно, – часть ответа.

3) Рассмотрим

Здесь возможны четыре варианта:

Все эти системы несовместны.