Комбинаторика на МВ (Финашке): графы, турниры, множества, способы

Первое решение.

Первого человека в тройку возьмём любого из 18. Дальше нужно выбрать второго и третьего. Пусть между первым и вторым при подсчёте по часовой стрелке сидит человек, между вторым и третьим — между третьим и первым —

По условию должно выполняться При этом (если 3 человека выбрано, то 15 не выбраны). Если уменьшить каждую из переменных на единицу, то получаем уже уравнение в натуральных числах По методу шаров и перегородок оно имеет решений.

Итак, для каждого из 18 способов выбора первого есть 55 способов однозначно определить оставшихся двух людей. Но по условию задачи нас спрашивали количество троек без различия, кто в этой тройке первый. Поэтому нужно поделить на , ведь каждую тройку мы посчитали по три раза, когда какой-то человек являлся в ней первым.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Пронумеруем места за столом по часовой стрелке от до

Посчитаем, сколько троек мы можем создать, если один из людей сидит на первом месте.

В этом случае мы не сможем взять людей, сидящих на и местах. То есть следующего мы сможем выбрать только способами. Если следующим мы выбираем человека, сидящего на месте, то следующего можно выбрать с по место, то есть способами; если вторым выбираем человека на месте, то третьего можно выбрать способами и т.д.

В итоге, если один из выбранных людей сидит на первом месте, то существует способов подобного выбора.

Общее количество выбора троих людей указанным в условии способом равно:

Отметим, что после умножения на общее число людей, необходимо разделить на так как в каждой тройке можно начинать выбор с любого из трех людей.