Комбинаторика на МВ (Финашке): графы, турниры, множества, способы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
По регламенту шахматного турнира каждый участник должен сыграть с каждым один раз. После того как было сыграно ровно 99 партий, оказалось, что множество участников турнира можно разбить на две неравные по численности группы так, что все соперники, относящиеся к одной и той же группе, уже сыграли партии между собой. При этом были сыграны, но не более четырех, партии между соперниками, которые относятся к разным группам. Каково наибольшее возможное число участников этого шахматного турнира?
Подсказка 1
Давайте скорее перейдём от этих длинных условий к красивому математическому уравнению. Нам понадобятся всего 3 переменные: n - кол-во игроков, k - кол-во игроков в первой группе, m - партии между разными группами. Если внутри группы были сыграны все игры, то у нас получился полный граф на k вершинах. А сколько рёбер в полном графе на k вершинах?
Подсказка 2
Верно k*(k-1)/2. Теперь у нас есть все знания, чтобы составить уравнение на кол-во партий.
Подсказка 3
Немножечко преобразований, и у нас получится квадратное уравнение. Подумайте, относительно какой переменной его лучше решать?
Подсказка 4
Да, лучше решать относительно k, ведь тогда в дискриминанте будет участвовать n, а это хорошо, потому что, с одной стороны, у нас получится неравенство, и мы сможем оценить n сверху, а с другой - в нашем неравенстве не будет k, которое противно связано с нашим n тем, что k < n.
Подсказка 5
Ура, мы получили понятные выражения на n и можем воспользоваться тем, что 0 < m <= 4, к сожалению, нам теперь остаётся только оценить большее из них и пытаться найти пример или доказывать, что такого не бывает.
Подсказка 6
Из наших выражений следует, что n <= 20, не бойтесь перебирать каждое из них с конца и подставлять в исходное квадратное уравнение. Так же помните, что k - целое, да ещё и в силу того, что в другой команде n-k игроков, то не имеет особого смысла рассматривать k < n/2, это такой же случай, просто мы поменяли местами номера команд.
Пусть число участников турника равно 
а число попавших в 
-ю группу равно 
. Тогда число сыгранных партий
равно:
где 
откуда 
Если 
то:
тогда 
- противоречие; 
- противоречие; 
- противоречие; 
- противоречие;
при 
и 
Если 
то:
тогда 
- противоречие; 
- противоречие; 
- противоречие; 
- противоречие;
при 
и 
Если 
то:
тогда 
- противоречие; 
- противоречие; 
- противоречие; 
- противоречие; 
- противоречие; 
- решение.
при 
и 
Итак, наибольшее возможное число участников равно 
, группы участников насчитывают 
и 
человек, количество
«межгрупповых» партий равно 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
