15.02 Множества

Решение руками

Преобразуем импликацию и уберём лишнее:

Отрицаем известную часть:

Истина для отрицаемой части достигается, если одновременно не принадлежит множествам и .

Значит, так как , во множестве А должны оказаться числа, принадлежащие или . Тогда наибольшее возможное количество элементов в данном множестве – 18.

Решение программой

Для нахождения наибольшего количества элементов множества , при котором выражение

тождественно истинно для всех натуральных , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы начать с максимально возможного множества (все кандидаты от 0 до 99) и последовательно удалять из него элементы , для которых выражение оказывается ложным при любом . Таким образом формируется множество , обеспечивающее тождественную истинность выражения и содержащее наибольшее число элементов.

# создаём множество P - все чётные числа от 2 до 20 включительно
p = [i for i in range(2, 21, 2)]
# создаём множество Q - все кратные 5 числа от 5 до 50 включительно
q = [i for i in range(5, 51, 5)]
# начинаем с максимально возможного множества A
a = [i for i in range(100)]

# перебираем кандидатов на удаление из множества A
for i in range(100):
    for x in range(1000):
        # если выражение ложно для текущего i и x, удаляем i из множества A
        if (((x == i) <= (x in p)) or ((x not in q) <= (x != i))) == 0:
            a.remove(i)

# выводим количество элементов множества A после удаления всех неподходящих
print(len(a))