15.04 Побитовая конъюнкция

Решение аналитикой

Для начала упростим данное выражение:

Отделим скобками известную часть выражения от части с :

Сделаем отрицание известной части, чтобы найти те значения , которые будут давать истину для отрицания. Тогда они будут обязаны выполняться для условия с :

Выпишем поразрядную конъюнкцию :

Значит для истинности отрицания числа должны в двоичном виде принимать вид , где x – любая цифра.

Теперь выпишем поразрядную конъюнкцию с учётом известных цифр в числах :

Условие выполнится, если хотя бы одна цифра на месте будет равна 1. Значит в числах обязательно должна быть единица в 0 и/или 4 разряде. Выпишем числа , которые дают истину для отрицания известной части: , , .

Для всех таких чисел должно быть истинным условие . Значит, двоичная запись числа обязательно должна иметь вид , чтобы при поразрядной конъюнкции с любым числом получался в результате хотя бы один разряд 1. Значит наименьшее число имеет значение . Ответ .

Идея решения:

Перебираем целые неотрицательные с помощью цикла for, начиная с малых значений, чтобы найти наименьшее. Для каждого проверяем тождественную истинность

для всех неотрицательных , используя вложенный цикл for. Для проверки поразрядной конъюнкции применяем оператор &. Если найдётся хотя бы одно , при котором формула ложна, сбрасываем цикл и текущее не подходит. Первое , для которого формула истинна для всех , будет искомым наименьшим.

Решение программой:

# Функция проверки тождественной истинности формулы для заданного A
def f(a):
    # Перебор всех неотрицательных x
    for x in range(1, 1000):
        # Проверяем формулу с использованием поразрядной конъюнкции
        if ((x & 38 == 0) <= ((x & 55 != 0) <= (x & a != 0))) == 0:
            # Сбрасываем цикл, данное A не подходит
            return False
    # Формула истинна для всех x
    return True

# Перебор возможных значений A для нахождения наименьшего
for a in range(1, 1000):
    if f(a):
        print(a)
        break