15.04 Побитовая конъюнкция

Решение аналитически

Для начала упростим данное выражение:

Отделим скобками известную часть выражения от части с :

Сделаем отрицание известной части, чтобы найти те значения , которые будут давать истину для отрицания. Тогда они будут обязаны выполняться для условия с :

Выпишем поразрядную конъюнкцию :

Значит для истинности отрицания числа должны в двоичном виде принимать вид , где x – любая цифра.

Теперь выпишем поразрядную конъюнкцию с учётом известных цифр в числах :

Условие выполнится, если хотя бы одна цифра на месте будет равна 1. Значит в числах обязательно должна быть единица в 3 разряде. Выпишем числа , которые дают истину для отрицания известной части: .

Для всех таких чисел должно быть истинным условие . Значит, двоичная запись числа обязательно должна иметь вид , чтобы при поразрядной конъюнкции с любым числом получался в результате хотя бы один разряд 1. Значит наименьшее число имеет значение . Ответ .

Решение программой

Для нахождения наименьшего натурального числа , при котором выражение

тождественно истинно для всех натуральных , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения от 1 до 999. Для каждого перебираем все от 1 до 999 и вычисляем логическое выражение, используя поразрядное «И». Если хотя бы для одного выражение ложно, текущее отбрасываем. Если выражение истинно для всех , останавливаем перебор и получаем минимальное подходящее .

# функция проверяет выполнение выражения для конкретного a и всех x
def f(a):
    for x in range(1, 1000):
        # если выражение ложно для текущего x, возвращаем False
        if ((x & 27 != 0) <= ((x & 83 == 0) <= (x & a != 0))) == 0:
            return False
    # если для всех x выражение истинно, возвращаем True
    return True

# перебор возможных значений a от 1 до 999
for a in range(1, 1000):
    # если текущий a удовлетворяет условию, выводим его и прекращаем поиск
    if f(a):
        print(a)
        break