15.04 Побитовая конъюнкция

Для начала упростим данное выражение:

Раскроем импликации:

Отделим скобками известную часть выражения от части с :

Сделаем отрицание известной части, чтобы найти те значения , которые будут давать истину для отрицания. Тогда они будут обязаны выполняться для условия с :

Выпишем поразрядную конъюнкцию :

Значит для истинности отрицания числа должны в двоичном виде принимать вид , где x – любая цифра.

Теперь выпишем поразрядную конъюнкцию с учётом известных цифр в числах :

Условие выполнится, если хотя бы одна цифра на месте a будет равна 1. Значит в числах обязательно должна быть единица в 0 разряде или в 4 разряде. Выпишем числа , которые дают истину для отрицания известной части: Для всех таких чисел должно быть истинным условие . Значит, двоичная запись числа обязательно должна иметь вид , чтобы при поразрядной конъюнкции с любым числом получался в результате хотя бы один разряд 1. Значит наименьшее число имеет значение . Ответ .

Программное решение

Для нахождения наименьшего целого числа , при котором выражение

тождественно истинно для всех неотрицательных , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения от 0 до 999. Для каждого перебираем от 0 до 9999 и проверяем выполнение логической формулы. Если формула ложна хотя бы для одного , текущее отбрасываем. Если формула истинна для всех , выводим этот как наименьшее подходящее и прекращаем перебор.

# перебор возможных значений A от 0 до 999 включительно
for a in range(1000):
    # флаг: True - выражение выполняется для всех x, False - хотя бы один случай нарушает
    flag = True
    # проверяем выражение для всех x от 0 до 9999
    for x in range(10000):
        # проверка выполнения формулы для конкретного x и a
        if ((x & 38 == 0) <= ((x & 55 != 0) <= (x & a != 0))) == False:
            flag = False
            break
    # если выражение выполняется для всех x, выводим текущее a и прекращаем перебор
    if flag == True:
        print(a)
        break