15.04 Побитовая конъюнкция

Решение руками:

Преобразуем выражение по законам алгебры логики:

Заметим, что первое слагаемое логической суммы является импликацией , которая не является истинной для всех . Тогда необходимо и достаточно, чтобы второе слагаемое логической суммы было тождественно истинным.

Итак, импликация должна быть тождественно истиной. Запишем число 10 в двоичной системе счисления:

Единичные биты, стоящие в правой части, должны являться единичными битами левой. Поэтому в правой части единичными битами независимо друг от друга могут быть (а могут и не быть) только первый и третий биты (считая справа налево, начиная с нуля). Поскольку искомое А – наибольшее натуральное число, все биты, которые могут быть единичными будут единичными.

Тем самым, наибольшее .

Решение программой:

Для нахождения наибольшего натурального числа , при котором выражение

тождественно истинно для всех натуральных , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы проверить все значения от до . Для каждого перебираем все значения от до и вычисляем логическое выражение формулы. Если хотя бы для одного формула ложна, текущее отбрасываем. Если формула истинна для всех , фиксируем найденное . В конце перебора максимальное подходящее и будет ответом.

# перебор возможных значений A от 1 до 999
for a in range(1, 1000):
    # флаг: True - формула выполняется для всех X, False - хотя бы один X нарушает
    flag = True
    for x in range(1, 1000):
        # проверка истинности формулы для текущего X и A
        if ((x & 10 != 0) or (x & 39 == 0) or (x & a == 0)) == False:
            flag = False
            break
    # если формула выполняется для всех X, выводим A
    if flag:
        print(a)