25.01 Делители числа

По основной теореме арифметики (ОТА) каждое натуральное число, большее 1, можно разложить на простые множители. То есть некоторое натуральное число можно разложить в следующий вид:

Здесь – некоторое простое число, а – натуральный показатель степени. В таком случае число обязательно имеет делителей (каждое простое число можно брать от 0 до раз, где ).

В данной задаче необходимо, чтобы у числа было ровно 5 делителей, которые оканчиваются на 0 или 5. Тогда эти делители должны быть кратны числу 5, а значит в разложении числа должно участвовать простое число 5.

Пусть число имеет следующий вид:

В таком случае количество делителей, кратных 5, будет равно обозначим произведение всех за . Так как количество по условию должно быть равно 5, то либо и , либо и . Для аналогично будет только 1 множитель, а значит только 1 простое число в степени с показателем 4. В общем случае это можно представить, как где – любое простое число (в том числе 5, что обобщает эти два случая).

Таким образом, нужно будет перебрать простые числа так, чтобы получить все возможные числа вида из отрезка .

def is_prime(n):  # Функция проверки, является ли число простым
    if n == 1:  # Единицу нужно проверить отдельно
        return False  # 1 - не простое число, возвращаем False
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:  # Если нашли нетривиальный делитель
            return False  # То число не простое, возвращаем False
    return True


ans = 0  # Счётчик для ответа

# Нужно перебрать все числа вида x = 5 * p**4, где p - простое число

l = 12345678  # Левая граница отрезка
# Делим на 5, а затем извлекаем корень 4 степени,
# чтобы получить первое возможное p
l = int((l / 5) ** (1 / 4))

# Аналогично с правой границей отрезка
r = 87654321
r = int((r / 5) ** (1 / 4))

# Перебираем числа от l до r включительно
for p in range(l, r + 1):
    if is_prime(p):  # Если число p - простое
        # Проверяем, что итоговое число будет принадлежать отрезку
        if 12345678 <= 5 * p ** 4 <= 87654321:
            ans += 1
print(ans)