23.01 Количество программ из A в B

Решение рекурсией

Мы используем функцию f(x, y), которая возвращает количество программ, преобразующих число x в число y.

1. Если x > y, возвращаем 0, так как число превысило цель и путь невозможен.

2. Если x == y, возвращаем 1, так как найден один корректный путь.

3. В остальных случаях количество программ равно сумме двух рекурсивных вызовов:

- f(x + 1, y) — применение команды «прибавь 1»;

- f(x * 4, y) — применение команды «умножь на 4».

# Рекурсивная функция для подсчета количества программ
def f(x, y):
    # Если текущее число больше целевого, путь невозможен
    if x > y:
        return 0
    # Если текущее число равно целевому, найден один путь
    if x == y:
        return 1
    # Суммируем количество программ для команд +1 и *4
    return f(x + 1, y) + f(x * 4, y)

# Выводим количество программ для преобразования числа 1 в 55
print(f(1, 55))

Решение динамикой

Создаём массив a, где a[i] — количество способов получить число i от числа .

1. Инициализируем a[1] = 1, так как стартовое число имеет один способ «быть» в нём.

2. Для чисел от до :

- прибавляем a[i-1] для команды «прибавь 1»;

- прибавляем a[i//4] для команды «умножь на 4», только если делится на .

После заполнения массива значение a[55] покажет количество всех программ.

# Создаем массив для динамического программирования
a = [0] * 56
# Начальная точка (число 1) имеет один способ
a[1] = 1
# Заполняем массив для чисел от 2 до 55
for i in range(2, 56):
    # Количество способов через команду +1
    a[i] = a[i - 1]
    # Добавляем путь через команду *4, если число делится на 4
    if i % 4 == 0:
        a[i] += a[i // 4]
# Выводим количество программ для числа 55
print(a[55])