23.01 Количество программ из A в B

Решение динамикой

Динамический способ решения заключается в подсчете количества траекторий для каждого числа опираясь на подсчеты для предыдущих значений. Так, например, для подсчета количества траекторий до числа 8 необходимо знать количество траекторий до числа 5, 6 и 7.

Для реализации этого способа в программе создадим список, изначально заполненный нулями. Каждое число в списке будет обозначать количество траекторий до определенного числа. Далее пройдем по списку и заполним его значениями. Значение для каждой i-ой ячейки равно сумме значений для ячеек с индексами i - 1, i ** 0.5 (корень из числа) и i // 2.

# Создаем массив для хранения количества путей до чисел от 3 до 38
# a[i] - количество программ, которые преобразуют число 2 в число i
a = [0]*39
a[2] = 1 # Начальное число
# Перебираем все числа от 3 до 38 включительно
for i in range(3, 39):
    # Добавим проверки, что для деления число должно быть чётным и корень из числа будет целым
    a[i] = a[i-1] + a[i//2]*(i % 2 == 0) + a[int(i**0.5)] * (i**0.5 == int(i**0.5))
print(a[38]) # Выводим ответ

Решение рекурсией

Определим функцию f(a, b), которая будет вызывать саму себя. Она подсчитает количество программ, преобразующих число a в b. Функция возвращает:

• 0, если a > b или если в процессе встречается запрещённое число 7, так как такая траектория точно не будет подходящей и ее не нужно учитывать в подсчете количества траекторий;
• 1, если a == b, так как единица означает, что мы нашли путь, который число А может превратить в число B выполнив все условия задачи;
• сумму значений для трёх возможных переходов (+1, умножить на 2, число во второй степени), если a < b, так как такая траектория еще не нарушила условия задачи и может стать подходящей.

# Функция для подсчета количества программ преобразования a -> b
def f(x, y):
    if x > y: # Если число стало больше нужного
        return 0
    if x == y: # Если дошли до нужного числа
        return 1
    return f(x + 1, y) + f(x * 2, y) + f(x ** 2, y) # Количество путей до текущего числа

print(f(2, 38)) # Найдем ответ по условию задачи