23.01 Количество программ из A в B

Решение рекурсией

Определим функцию f(a, b), которая будет вызывать саму себя. Она подсчитает количество программ, преобразующих число a в b. Функция возвращает:

• 0, если a > b, так как такая траектория точно не будет подходящей и ее не нужно учитывать в подсчете количества траекторий;
• 1, если a == b, так как единица означает, что мы нашли путь, который число А может превратить в число B выполнив все условия задачи;
• сумму значений для трёх возможных переходов (+1, умножить на 2, умножить на 4), если a < b, так как такая траектория еще не нарушила условия задачи и может стать подходящей.

# Функция для подсчета количества программ преобразования a -> b
def f(st, fn):
    if st == fn: # Если дошли до нужного числа
        return 1
    if st > fn: # Если число стало больше нужного
        return 0
    return f(st + 1, fn) + f(st + 2, fn) + f(st * 4, fn) # Количество путей до текущего числа
print(f(2, 25)) # Ответ

Решение динамикой

Динамический способ решения заключается в подсчете количества траекторий для каждого числа опираясь на подсчеты для предыдущих значений. Так, например, для подсчета количества траекторий до числа 8 необходимо знать количество траекторий до числа 5, 6 и 7.

Для реализации этого способа в программе создадим список, изначально заполненный нулями. Каждое число в списке будет обозначать количество траекторий до определенного числа. Далее пройдем по списку и заполним его значениями. Значение для каждой i-ой ячейки равно сумме значений для ячеек с индексами i - 2, i // 4 И i - 1.

# Создаем массив для хранения количества путей до чисел от 3 до 25
# a[i] - количество программ, которые преобразуют число 2 в число i
a = [0] * 26
a[2] = 1 # Начальное число
for i in range(3, 26):
    a[i] = a[i - 2] + a[i // 4] * (i % 4 == 0) + a[i - 1] # Дополнительно проверим, что число нацело делится на 4
print(a[25]) # Выводим ответ

Решение 3 (Динамика)

a = [0] * 150
a[2] = 1 # Начальное число
# Аналогично прошлому решению произведём операции. Будем добавлять текущее значение к ячейкам +1, +2, умножить на 4.
for i in range(2, 25):
    a[i + 1] += a[i]
    a[i + 2] += a[i]
    a[i * 4] += a[i]
print(a[25]) # Выводим ответ