23.01 Количество программ из A в B

Решение рекурсией

Определим функцию f(a, b), которая будет вызывать саму себя. Она подсчитает количество программ, преобразующих число a в b. Функция возвращает:

• 0, если a > b, так как такая траектория точно не будет подходящей и ее не нужно учитывать в подсчете количества траекторий;
• 1, если a == b, так как единица означает, что мы нашли путь, который число А может превратить в число B выполнив все условия задачи;
• сумму значений для трёх возможных переходов (+1, умножить на 2, +2), если a < b, так как такая траектория еще не нарушила условия задачи и может стать подходящей.

# Модуль для того,
# чтобы функция не считала одни и те же значения по нескольку раз.
# Значительно ускоряет программу
from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
# Функция для подсчета количества программ преобразования a -> b
def f(n, m):
    if n == m: # Если дошли до нужного числа
        return 1
    if n > m: # Если число стало больше нужного
        return 0
    return f(n + 1, m) + f(n + 2, m) + f(n * 2, m) # Количество путей до текущего числа

print(f(5, 40)) # Найдем ответ по условию задачи

 

Решение динамикой

Динамический способ решения заключается в подсчете количества траекторий для каждого числа опираясь на подсчеты для предыдущих значений. Так, например, для подсчета количества траекторий до числа 8 необходимо знать количество траекторий до числа 5, 6 и 7.

Для реализации этого способа в программе создадим список, изначально заполненный нулями. Каждое число в списке будет обозначать количество траекторий до определенного числа. Далее пройдем по списку и заполним его значениями. Значение для каждой i-ой ячейки равно сумме значений для ячеек с индексами i - 1, i - 2 и i // 2.

# Создаем массив для хранения количества путей до чисел
# a[i] - количество программ, которые преобразуют число 5 в число i
a = [0] * 100
a[5] = 1 # Начальное число
for i in range(6, 41):
    a[i] = a[i - 1] + a[i - 2] + a[i // 2] * (i % 2== 0) # Проверим четность числа для правильного результата при делении на 2
print(a[40])