23.01 Количество программ из A в B

Решение рекурсией

Определим функцию f(a, b), которая будет вызывать саму себя. Она подсчитает количество программ, преобразующих число a в b. Функция возвращает:

• 0, если a > b, так как такая траектория точно не будет подходящей и ее не нужно учитывать в подсчете количества траекторий;
• 1, если a == b, так как единица означает, что мы нашли путь, который число А может превратить в число B выполнив все условия задачи;
• сумму значений для трёх возможных переходов (+1, умножить на 2, +3), если a < b, так как такая траектория еще не нарушила условия задачи и может стать подходящей.

# Функция для подсчета количества программ преобразования a -> b
def f(a,b):
    if a > b: # Если число стало больше нужного
     return 0
    if a == b: # Если дошли до нужного числа
     return 1
    return f(a + 1, b) + f(a + 3, b) + f(a * 2, b) # Количество путей до текущего числа

print(f(5, 20)) # Найдем ответ по условию задачи

Решение динамикой

Динамический способ решения заключается в подсчете количества траекторий для каждого числа опираясь на подсчеты для предыдущих значений. Так, например, для подсчета количества траекторий до числа 8 необходимо знать количество траекторий до числа 5, 6 и 7.

Для реализации этого способа в программе создадим список, изначально заполненный нулями. Каждое число в списке будет обозначать количество траекторий до определенного числа. Далее пройдем по списку и заполним его значениями. Значение для каждой i-ой ячейки равно сумме значений для ячеек с индексами i - 1, i - 3 и i // 2.

# Создаем массив для хранения количества путей до чисел от 6 до 20
# a[i] - количество программ, которые преобразуют число 5 в число i
a = [0] * 100
a[5] = 1 # Начальное число
for i in range(6, 21):
    a[i] = a[i - 1] + a[i - 3] + a[i // 2] * (i % 2 == 0) # Будем делить на 2 только если число кратно 2
print(a[20]) # Выводим ответ