23.03 Количество программ из A в B где траектория вычислений содержит число(-а)

Решение динамикой

Для решения будем использовать динамический подход. Основная идея состоит в том, чтобы создать массив, где каждый индекс соответствует числу на экране, а значение в ячейке показывает количество программ, которые приводят к этому числу. Алгоритм строится по следующей логике:

1. Инициализируем массив длиной 25 (так как нам нужно число 24) нулями, чтобы каждая ячейка изначально содержала 0.

2. Устанавливаем a[4] = 1, потому что начальное число — 4, и существует ровно один способ быть в этом положении.

3. Проходим по всем числам от 5 до 24 включительно. Для каждого числа считаем количество способов, которые его дают:

- Если можно применить команду «прибавить 1», добавляем значение ячейки a[i-1].

- Если можно применить команду «прибавить 5», добавляем значение ячейки a[i-5].

- Если число чётное, можно применить команду «умножить на 2» и добавить значение a[i//2].

4. После подсчёта для числа проверяем, является ли оно обязательным для траектории (числа 11 или 17). Если да, то обнуляем все предыдущие значения a[j] для , так как траектория должна содержать эти числа, и более ранние пути, которые не прошли через них, не учитываем.

5. После завершения цикла в ячейке a[24] будет количество всех программ, которые удовлетворяют условиям задачи.

# Создаем массив из 25 элементов, изначально все нули
a = [0] * 25
# Исходное число 4, существует один способ быть в этом состоянии
a[4] = 1
# Перебираем все числа от 5 до 24
for i in range(5, 25):
    # Считаем количество программ для текущего числа
    # прибавление 1
    # прибавление 5
    # умножение на 2 (только для четных чисел)
    a[i] = a[i - 1] + a[i - 5] + a[i // 2] * (i % 2 == 0)
    # Проверяем обязательные числа траектории
    if i == 11 or i == 17:
        # Обнуляем все предыдущие значения, чтобы учесть
        # обязательное прохождение через это число
        for j in range(i):
            a[j] = 0

# Выводим количество программ, приводящих от 4 к 24
print(a[24])

Решение аналитически

Пусть — количество программ, которые число 4 преобразуют в число . Тогда верно следующее утверждение:

— если число не делится на 2.

— если число делится на 2.

Заполним таблицу по данным формулам до 11:

По условию траектория должна проходить через число 11, значит , так как число 12 можно получить только из числа 11 (соблюдая траекторию). Заполним таблицу до 18:

Аналагично , так как число 19 можно получить только из 18, соблюдая траекторию. Заполним таблицу до конца:

Отсюда получаем ответ: 72.