23.04 Количество программ из A в B где траектория вычислений НЕ содержит число(-а)

Решение рекурсией

Определим функцию f(a, b), которая будет вызывать саму себя. Она подсчитает количество программ, преобразующих число a в b. Функция возвращает:

• 0, если a > b, так как такая траектория точно не будет подходящей и ее не нужно учитывать в подсчете количества траекторий;
• 1, если a == b, так как единица означает, что мы нашли путь, который число А может превратить в число B выполнив все условия задачи;
• сумму значений для трёх возможных переходов (+1, умножить на 2 + 1), если a < b, так как такая траектория еще не нарушила условия задачи и может стать подходящей.

# Функция для подсчета количества программ преобразования a -> b
def f(x, y):
    if x > y or x == 26: # Если число стало больше нужного или встретилось запрещённое
        return 0
    elif x == y: # Если дошли до нужного числа
        return 1
    else:
        return f(x + 1, y) + f(x * 2 + 1, y) # Количество путей до текущего числа

print(f(1, 27)) # Найдем ответ по условию задачи

Решение динамикой

Динамический способ решения заключается в подсчете количества траекторий для каждого числа опираясь на подсчеты для предыдущих значений. Так, например, для подсчета количества траекторий до числа 8 необходимо знать количество траекторий до числа 5, 6 и 7.

Для реализации этого способа в программе создадим список, изначально заполненный нулями. Каждое число в списке будет обозначать количество траекторий до определенного числа. Далее пройдем по списку и заполним его значениями. Значение для каждой i-ой ячейки равно сумме значений для ячеек с индексами i - 1 и i // 2 - 1.

# Создаем массив для хранения количества путей до чисел от 2 до 27
# a[i] - количество программ, которые преобразуют число 1 в число i
a = [0] * 28
a[1] = 1 # Начальное число
for i in range(2, 28):
    a[i] = a[i - 1]
    if i % 2 == 1:
        # Будем делить на 2 только если число даёт остаток 1, то есть результат по сути делить на 2 - 1 (деление целочисленное)
        a[i] += a[i // 2]
    if i == 26: # Выводим ответ
        a[i] = 0

print(a[27]) # Выводим ответ