23.04 Количество программ из A в B где траектория вычислений НЕ содержит число(-а)

Решение рекурсией

Определим функцию f(a, b), которая будет вызывать саму себя. Она подсчитает количество программ, преобразующих число a в b. Функция возвращает:

• 0, если a > b, так как такая траектория точно не будет подходящей и ее не нужно учитывать в подсчете количества траекторий;
• 1, если a == b, так как единица означает, что мы нашли путь, который число А может превратить в число B выполнив все условия задачи;
• сумму значений для трёх возможных переходов (+1, умножить на 2, +4), если a < b, так как такая траектория еще не нарушила условия задачи и может стать подходящей.

# Функция для подсчета количества программ преобразования a -> b
def f(x, y):
    if x > y or x == 30: # Если число стало больше нужного или встретили запрещённое
        return 0
    elif x == y: # Если дошли до нужного числа
        return 1
    else:
        return f(x + 1, y) + f(x + 4, y) + f(x * 2, y) # Количество путей до текущего числа

print(f(33, 72)) # Найдем ответ по условию задачи

Решение динамикой

Динамический способ решения заключается в подсчете количества траекторий для каждого числа опираясь на подсчеты для предыдущих значений. Так, например, для подсчета количества траекторий до числа 8 необходимо знать количество траекторий до числа 5, 6 и 7.

Для реализации этого способа в программе создадим список, изначально заполненный нулями. Каждое число в списке будет обозначать количество траекторий до определенного числа. Далее пройдем по списку и заполним его значениями. Значение для каждой i-ой ячейки равно сумме значений для ячеек с индексами i - 1, i - 4 и i // 2.

# Создаем массив для хранения количества путей до чисел от 34 до 72
# a[i] - количество программ, которые преобразуют число 33 в число i
num = [0] * 73
num[33] = 1  # Начальное число
for i in range(34, 73):
    num[i] = ((num[i - 1] + num[i - 4]) + num[i // 2] * (i % 2 == 0)) * (i != 30)  # Будем делить на 2 только если число кратно 2 и не равно 30
print(num[72]) # Выводим ответ